代数数论
以代数数域和代数整数为研究对象的数论分支
条目
历史版本
数论大约有3000年的历史[10]，而代数数论的建立是从19世纪德国数学家高斯（Gauss）出版的《算术研究》一书开始的。[2]他开创了同余理论的研究，通过引入复整数的概念开辟了代数数论这一新的数论分支。另一位德国数学家库默尔（Kummer）对于学科的贡献主要在于费马大定理证明的推进，他开始了理想数理论的研究，平息了当时的争议。[3]戴德金（Dedekind）在库默尔理论的基础上，用抽象和代数化的方式讲述数论，同时避免了大量的具体计算，其1877年所写的《代数整数论》一书奠定了经典代数数论的基础。1920年，日本数学家高木贞治（Takagi Teiji）创建了类域论，他的证明综合采用了代数方法和解析方法。[2]1933年，谢瓦莱（Chevalley）摆脱了阿廷（Artin）的解析方法，将类域论推广至有限域及局部域，为局部类域论的建立创造了条件。[4]20世纪40年代开始，复杂的猜想接连被攻破。韦伊（A.Weil）用代数几何的方法证明了函数域上类似的黎曼猜想。[5]后来，人们相继验证了高维韦伊猜想、二维的朗兰兹局部猜想以及莫德尔猜想。[15]1994年，怀尔斯（Andrew Wiles）在经历了一番波折后终于实现了费马大定理的证明。[6]
代数数论的分支有类域论以及算数代数几何，[4][16]其研究可采用解析方法。[10]该学科的基本理论包括理想的分解[11]、理想类群[11]、p进数域[11]、戴德金Zeta函数[12]、单位群以及局部数域。[13][11]其中，理想数理论为著名费马大定理的证明做出了贡献。[17]此外，代数数论的理论与成果在现实世界中应用广泛，如在通信工程领域，把信息编成二元域集合中的元素组，可以帮助检查与纠错，提升传输的准确性。[9]