类域论所属现代词，指的是研究数域上阿贝尔扩张的理论。 基本简介
研究数域上阿贝尔扩张的理论。它的基本思想是用基域的算术性质去刻画它上面的阿贝尔扩张。设 k是一数域，I是k的一切非零的分式理想构成的乘法群,I也记作l(k)。对于k上的任一阿贝尔扩张K,存在I的一个狭义子群h与K对应，使得k的每个素理想P在K中分 裂的充分必要条件是P属于h。
D.希尔伯特于1898年至1899年间作了如下的猜想：设Ck是k的理想类群，于是存在一个惟一的阿贝尔扩张K/k适合下列条件：①K/k的伽罗瓦群G(K/k)≌Ck；②k中每个素理想在K中非分歧；③设k的素理想P在Ck中所代表的类的阶为ƒ。则ƒ|hk, hk＝｜Ck｜。令hk=g·ƒ，于是P在K中分解成g个不同的素因子的积，它们对P的公共剩余次数为ƒ。 希尔伯特就hk=2的情形给出了证明，以他的洞察力对一般情况作了如上的猜想。P.H.富特文格勒于1907年证明了如上的猜想。 这个K/k被称为希尔伯特类域。