理想类群(ideal class group)是数域的分式理想群按主理想子群分类所形成的群。
详细概念
数域K的两个分式理想A和B称为等价的，指存在α∈K使A=αB。K的分式理想等价类群体构成的乘法群H(K)即称为K的理想类群。换句话说，H(K)=I/I，式中I为K的分式理想群，I为主理想子群。H(K)的阶段h(K)是有限数，称为K的理想类数或类数。K为主理想域(即K的整数环为主理想环)当且仅当h(K)=1。 类群和类数是数域的重要数论特征和研究对象。
理想类群也是衡量戴德金环与主理想整环相距程度的群。设G(R)是戴德金环R的全部分式理想所构成的群，P(R)是主分式理想群。它们都是交换群且P(R)是G(R)的子群，其商群G(R)/P(R)=I(R)称为R的理想类群。R的每个分式理想a在I(R)中的像称为a所在的理想类。于是，两个分式理想a，b同属于一个理想类当且仅当在R的商域K中存在非零元素d使a=(d)b。所以，I(R)是一阶群，当且仅当P(R)=G(R)；又当且仅当R的每个整体理想均为主理想；又当且仅当R为主理想整环。
群