可分多项式是一类重要的多项式，指既约因式在任意扩域内无重根的多项式。设f(x)是域F上次数大于零的多项式，若f(x)的每个既约因式在F的代数闭包内没有重根，则称f(x)为可分多项式；否则，称为不可分多项式。既约多项式f(x)是不可分多项式的充分必要条件为f′(x)=0。特征为零的域上任何既约多项式均为可分多项式。特征为p>0的域上既约多项式f(x)是不可分多项式的充分必要条件为存在某个h(x)使得f(x)=h(x^p)。 定义
可分多项式在不同的作者的书下有两个略微不同的定义。最常见的一个定义是：当在一个给定域K上的多项式P(X)在K的代数闭包中有不同的根时，称多项式为可分的。换言之它的互异根的数量需要等于多项式的次数。在多项式因式分解的观点下，这样的多项式是无平方多项式。第二个定义，当P(X)在K[X]中的每个不可约因子在K的代数闭包中的根互不相同，此时称P(X)是可分的。这意味着每个不可约因子是无平方项的。在这个定义中，可分性依赖于K，比如任何一个不可分的不可约多项式P在它的分裂域上都变成可分的了。并且在这个定义下，每个完美域上的多项式是可分的，这包含了0特征域和所有有限域。两个定义对于K上不可约多项式是等价的，这个被用来定义域K的可分扩张。在条目的余下部分只用第一个定义。一个多项式可分当且仅当它与它的形式导数P'(X)互素。 域的可分扩张
可分多项式被用于定义可分扩张：一个域扩张K⊂L是一个可分扩张当且仅当对任意的代数元α∈L，α在K上的极小多项式是可分多项式。不可分扩张只可能在特征为p的域上出现。由定义可以立马得到如果P是不可约的并且不可分，那么P'(X)=0。因此必须有P(X) = Q(X^p)对某个K上多项式Q成立，当中p是K的特征。例如，P(X) = X^p − T，其中K是在有限域F_p上的不定元T的有理函数组成的域，可以直接证明P(X)是不可约的，并且不可分。这是为什么不可分性需要被强调的一个例子；用几何的语言来说，P代表了有限域上的一个射影直线，将坐标取p次幂。这样的映射对有限域上的代数几何是基础的。若L是域扩张K(T^(1/p))，即P的分裂域，则L/K是一个纯不可分域扩张的例子。它的次数是p，但是除了恒等映射没有保K不变的态射，因为T^(1/p)是P的唯一一个根。这直接证明了伽罗华理论在这里不适用。一个没有此类扩张的域称为完美域。可以证明L和它自己在K上的张量积有非零的幂零元。这又一次证明了不可分性：这是说域上的张量积操作不需要形成一个域的积环（因此没有交换的半单环）。