超越数
不是代数数的实数
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历史版本
超越数（transcendental number[1]）是指不是代数数的实数，[3]即不可以作为有理系数多项式的根的数。[10]常见的超越数有自然对数的底e [11][12]和圆周率π。[13][14]
超越数的概念是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）于18世纪提出的，[2]1844年，刘维尔（J .Liouville）证明了超越数的存在性。[7]基于他的研究成果，埃尔米特(C .Hermite）在1873年证明了e是超越数。[8] 随后，康托尔(Georg Cantor）给出了关于超越数 的非构造性存在的证明。[9]1882年，德国数学家林德曼（C .L .F .Lindemann）给出了π的超越性证明。进入20世纪，希尔伯特（David Hilbert）在国际数学家大会上提出了关于超越数的难题，吸引了很多学者的目光。1913年，鲍尔和明尼阿波利斯的斯洛宾建立了定理说明，无论自变量是否是一个除了零以外的代数数、三角函数和双曲函数都是超越数，超越数论逐渐成熟。[2][8]
超越数的存在性可以通过多种方法进行证明。[14][15]L-M定理为超越数理论的基本定理，它的推论将一些特殊的超越数联系起来，包括自然对数的底以及圆周率。[2]此外，这些超越数在现实世界中应用广泛，如，自然对数的底可用于金融学复利的计算。[6]