正交矩阵

正交变换在标准正交基下的实矩阵
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正交矩阵（英文：Orthogonal matrix）是一种实矩阵，指正交变换在标准正交基下的矩阵，即满足AAT=E的n阶实矩阵，其中AT 是矩阵A的转置矩阵，E是单位矩阵。[2]
英国数学家凯莱（Cayley）是第一个把矩阵作为独立的数学概念提出的人，并在1858年发表了论文《矩阵论的研究报告》，文中系统地阐述了关于矩阵的理论，定义了矩阵的一系列基本概念。后来，1878年德国数学家弗罗伯纽斯（Frobenius,1849-1917）在讨论最小多项式问题过程中，引进矩阵的秩的概念。在之后的整理工作中，弗罗伯纽斯给出了不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，并讨论了关于正交矩阵的一些重要性质。[3][7]
正交矩阵具有一些性质：如任何正交矩阵的行列式要么是
要么是
若
都是正交矩阵，则
及
也是正交矩阵；若
为正交矩阵，则
的转置矩阵、逆矩阵和伴随矩阵也是正交矩阵等。[8][9]将正交矩阵的概念从实数扩展到复数，正交矩阵在复数域中叫做酉矩阵。[10][11]利用赋范线性空间中的广义正交性，可推广并引入广义正交矩阵的概念。[12]正交矩阵有着广泛的应用，如在摄影测量学中，与惯用的迭代解法相比，正交矩阵反问题进行绝对定向的快速直接解法具有求解精度高，计算时间短的特点，在实际中具有更好的应用价值。[5]

简史

英国数学家凯莱（Cayley）是第一个把矩阵作为独立的数学概念提出的人，并在1858年发表了论文《矩阵论的研究报告》，文中系统地阐述了关于矩阵的理论，定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念。后来，1878年德国数学家弗罗伯纽斯（Frobenius,1849-1917）在讨论最小多项式问题过程中，引进矩阵的秩的概念。在之后的整理工作中，弗罗伯纽斯给出了不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，并讨论了关于正交矩阵的一些重要性质。[3][7]