二次型
变量的二次齐次多项式
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历史版本
二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。[3]法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）在其著作中给出结论：当方程是标准形时，二次曲面用二次项的符号来进行分类，然而，那时并不太清楚，在化简成标准形时，为何总是得到同样数目的正项和负项，英国数学家西尔维斯特（James Joseph Sylvester）回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明，这个定律后被德国数学家雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）重新发现和证明。1801年，德国数学家高斯（Gauss）在《算术研究》[9] 中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究涉及二次型和行列式的特征方程等概念。[3]
二次型与矩阵的概念密切相关，二次型矩阵是对称矩阵。[10]从几何意义上说，它的图形为二次曲线或二次曲面。[11]二次型具有标准型以及规范型的特殊形式，[12]可通过一些方法将普通二次型化为这两种形式，如配方法[8]、正交变换法[8]以及初等变换法[10]。二次型在现实世界中应用广泛，如在经济学中，二次型可以用于解决最大经济效用问题[6]；在物理学中，二次型可应用于处理满足二重构型的量子玻色模型的哈密顿量精确对角化问题[7]。