布尔代数
使用与、或、非运算符定义的一种代数结构
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布尔代数（英文：Boolean algebra[1]）是一种类似于布尔环的代数结构，但它是使用与（∧）、或（∨）、非（¬）运算符来定义的。[14]亨廷顿公理给出了布尔代数的明确定义，同时，它具有等价定义，即由布尔格诱导生成的代数系统。[9][15]
布尔代数起源于逻辑学的兴起，古希腊逻辑学发展成为了西方传统形式逻辑，为人们提供了认识科学的有效工具。[16]近代以来，随着自然科学的发展，人们试图将数学方法推广到其他领域。莱布尼茨（Leibniz,G.W.）曾设想创造一种通用语言来表示逻辑学中的一切概念，但是在构设符号逻辑体系方面没有取得成功。[3]1830年，英国数学家皮考克（G.Peacock）在《代数学》一书中对代数运算的基本法则做了探索，并试图建立一门更普遍的代数。在前人工作的基础上，1847年，英国数学家乔治·布尔（George Boole）出版了著作《逻辑的数学分析，论演绎推理的演算法》，书中他把数学演算应用于逻辑推理，使得逻辑学从传统逻辑发展成为了现代逻辑学。[4][17]1854年，布尔又出版了书籍，进一步完善了数理逻辑的理论，为布尔代数系统的创立奠定了基础。[2]1904年，美国数学家亨廷顿（Huntington）在布尔工作的基础上研究了布尔代数的代数结构，并给出了布尔代数的公理化系统。[3][18]20世纪以来，布尔代数与拓扑学、集合论、环论等分支的联系越来越紧密，理论进一步得到了发展与完善。[3]
布尔代数有一些经典的模型实例，如命题代数、开关代数和集合代数等。[12][13]或、与、非为布尔代数系统的三种基本运算，它们满足单调定律[9]、非单调定律、完备性定理[8]和对偶原理[9]等规律。[7]布尔代数上的关系包括顺序关系、同态与同构、合同关系等。[10][11]与布尔代数类似的理论是布尔函数，应用布尔代数运算公式可使布尔函数的化简运算更加方便快捷。[19][20]如果放弃交换性和结合性公理，可得到布尔代数的推广形式——纽曼代数。[3]此外，在现实世界中，布尔代数具有广泛的应用价值，如在密码学中，基于布尔代数的合式基概念的与或逻辑，可构造一种秘密共享方案，能有效提高秘密信息的安全性。[5]