同态

代数术语
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同态是抽象代数中两个代数结构（例如群、环、或者向量空间）之间的一种映射，它保持结构不变。这意味着，如果M和M′是两个乘集，σ是M射到M′的映射，且对于M中任意两个元素a和b，都满足σ(a*b)=σ(a)*’σ(b)，那么σ被称为M到M′上的同态。同态的概念源于希腊语，其中ὁμός (homos)表示"相同"，μορφή (morphe)表示"形态"。

定义

同态是从一个代数结构到同类代数结构的映射，它保持所有相关的结构不变，包括幺元、逆元、和二元运算等属性。如果 σ 是单射，则称为单同态；如果 σ 是满射，则称为满同态。如果σ是双射，则称为同构。如果M和M'都是群，那么同态也叫做群同态。

非正式表述

在抽象代数中，最有意义的函数是那些能够保持集合上的运算不变的函数，即同态。例如，自然数上的函数f(x) = 3x就是一个同态，因为它保持了加法运算的结构。同态不仅限于映射到带有相同运算的集合，也可以是从一个运算的集合映射到另一个不同运算的集合，例如从带加法的实数集到带乘法的正实数集的映射。同态还保持幺元，即如果一个集合中存在幺元，它将被映射到另一个集合中的幺元。