辛几何

数学中微分几何领域的分支领域
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辛几何（symplectic geometry）是数学中微分几何领域的分支领域，是研究辛流形（symplectic manifold）的几何与拓扑性质的学科。它的起源和物理学中的经典力学关系密切，也与数学中的代数几何，数学物理，几何拓扑等领域有很重要的联系。不同于微分几何中的另一大分支--黎曼几何，辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念。这使得辛几何的研究带有很大的整体性。

内容简介

辛几何（Symplectic geometry），也叫辛拓扑（Symplectic topology），是微分几何的一个分支。其研究对象为辛流形，亦即带有闭非退化2-形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿表述，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。
辛拓扑和研究有非退化对称2阶张量(称为度量张量)的流形的黎曼几何有一些相似和不同之处。不像黎曼的情况，辛流形没有像曲率那样的局部不变量。这是达布定理的一个结果，表明每一对辛流形是局部同构的。另一个和黎曼几何的区别是不是所有的微分流形可以接受一个辛形式；有一些特定的拓扑限制。首先，流形必须是偶数维的。辛拓扑的很多工作就是以研究哪些流形可以有辛结构为中心的。
每个凯勒流形也是一个辛流形。直到1970年代，辛专家们还不确信是否有任何紧非Kähler辛流形存在，但从那以后又很多例子被构造出来(第一个由William Thurston给出)；特别的，Robert Gompf证明每个有限表示群都可以作为辛4维流形的基本群出现，这和凯勒的情形完全不同。