辛流形
辛流形
条目
历史版本
具有某种特殊结构的微分流形，这种结构称为辛结构。
正文
设M为一微分流形，又在M上具有一个二次非退化的闭外微分形式
,则称是M上的一个辛结构，又称M为具辛结构的辛流形。微分流形的辛结构联系于向量空间的辛结构。设V 是m维向量空间，在V上定义了一个反对称、非退化的双线性形式，即满足：①反对称性，
，对任意
成立；②非退化，若对任意
，有
，必有
,则称为向量空间V上的一个辛结构，又称V 为具辛结构σ的辛向量空间。对于具辛结构的微分流形M,在每一点
，将
视为
上的双线性形式，即得出向量空间上的辛结构。具辛结构的向量空间 V或具辛结构的微分流形M都必须是偶数维的。
设M是微分流形，
是它的余切丛，又在上定义一个一次微分形式α,使当的局部坐标取为
,
的局部坐标表为
，的外微分
就是上一个二次非退化闭外形式，其局部坐标表示为
可作为的辛结构，称它为自然辛结构。在这种辛结构下成为一个辛流形。这是一个最常见的辛流形。可以证明，若两个微分流形M，N之间有微分同胚
，由
诱导出的余切丛之间的映射
就是这两个辛流形之间保持自然辛结构的一个变换，称为典则变换。