内积空间
具有内积运算的线性空间
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内积空间（inner product space）是具有内积运算的线性空间。[1]其定义为：设V是一个线性空间，对任意x,y∈V有一个实数与之对应并记为(x,y)，如果这种对应关系满足对称性公理、关于第一变元的线性公理、正定性公理，则称V为内积空间。[12]
数学中的空间是指某种对象构成的集合，这些概念起源于泛函分析的兴起。1903年，法国数学家阿达玛（Hadamard）首先采用了“泛函”一词。[3]希尔伯特（Hilbert）通过严密的极限过程将有限线性代数方程的结果类比推广到积分方程，在这一过程中，他引进了平方可和实数列的集合
，即为希尔伯特空间。其学生施密特（Schmidt）和数学家冯·诺伊曼（von Neumann）等人对该空间进一步研究，应用内积的工具进行几何类比，正式确定了内积空间的概念。1922年，波兰数学家巴拿赫（Banach）提出了比内积空间更为一般的赋范空间的概念，用范数代替内积定义线性空间中点列的收敛性与空间的拓扑结构。次年，他又提出了完备赋范空间的概念，后人称为巴拿赫空间。[2]对其他学科复杂问题的探索也促使内积空间理论取得进一步发展。1942年，不定内积空间的概念出现在狄拉克（Dirac）有关量子场论的文章中。1974年，波哥纳（Bogner）给出关于一般不定内积空间理论的第一本专著，其上的线性算子也逐渐开始为人们所理解。[1]
内积空间可通过范数定义，因此它是赋范线性空间，具备正尺度性、三角不等式等性质。[9]线性代数中格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）标准正交化过程可推广到内积空间上来，它可以用于讨论可分希尔伯特空间的结构。[13]如果不满足定义中的正定性，可形成不定内积空间。[14]此外，内积空间在现实世界中应用广泛，如计算机科学中，基于语义内积空间模型的文本聚类算法可以用于中文短文本数据的聚类，并且提升质量。[4]