巴拿赫空间
1920年提出的数学定理
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巴拿赫空间是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。
正文
一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰 富而生动的素材。从K.（T.W.）外尔斯特拉斯以来，人们久已十分关心闭区间【α,b】上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末，G.阿斯科利就得到【α，b】上一族连续函数之列紧性的判断准则，后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。1909年F.（F.）里斯给出C【0,1】上连续线性泛函的表达式，这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重要的空间，那就是由所有在【0,1】上p次可勒贝格求和的函数构成的Lp空间(1<p<∞)。在1910～1917年，人们研究它的种种初等性质；其上连续线性泛函的表示，则照亮了通往对偶理论的道路。人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间，并且引进全连续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间。正是基于这些具体的、生动的素材，S.巴拿赫与N.维纳相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念，并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论。
定义 对于实(或复)数域K上的线性空间X，若有从X到R的函数‖x‖使得：①‖x‖≥0,‖x‖=0必须且只须x=0,②对α ∈K,有‖αx‖=α‖x‖,③‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,则称X为线性赋范空间，而称‖x‖为范数。