泛函是数学中重要的基本概念，是现代数学的重要研究对象之一，也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。 定义
简单的说，泛函就是定义域是一个函数集，而值域是实数集或者实数集的一个子集，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。也就是说，它是从函数空间到数域的映射。 设{y(x)}是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一函数y(x) 恒有某个确定的数与之对应，记为，则是定义于集合{y(x)}上的一个泛函。 泛函定义域内的函数为可取函数或容许函数， y(x) 称为泛函П的变量函数。