函数空间
函数的集合
条目
历史版本
数学中，函数空间指的是从集合X到集合Y的给定种类的函数的集合。其叫做空间的原因是在很多应用中，它是拓扑空间或向量空间或者二者。经典分析学研究中出现了许多重要的函数空间。对一些类型的函数空间，现已取得相当丰富的理论成就。
概念
经典分析学处理问题往往泛言或零散地看待所考虑的函数。虽有时取符合于某种规定的函数类X，但没有明确地把X当作几何的对象。现代分析学的一般方法在于视Ω为拓扑空间或测度空间又以问题的需要规定类中映射（即函数）：Ω→A满足的条件，诸如连续性、有界性、可测性、可微性、可积性等；从几何学、拓扑学及代数学的角度，对X一方面赋与关于加法与数量乘法的封闭性，这里加法为：ƒ∈X，g∈X→ƒ+g∈X，(ƒ+g)(x)= ƒ(x)+g(x)，对x∈Ω；数量乘法为：ƒ∈X，λ∈A→λƒ∈X，(λƒ)(x)=λƒ(x)，对x∈Ω（即X对通常函数的线性运算封闭）；另一方面使之成为拓扑空间，且两方面又满足一定的要求（例如线性运算关于拓扑是连续的等）。这样，函数空间X通常也是拓扑线性空间。经典分析学研究中出现了许多重要的函数空间。对一些类型的函数空间，现已取得相当丰富的理论成就。