伽罗瓦理论
1846年伽罗瓦提出的理论
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伽罗瓦理论是用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响，其影响几乎长达整整一个世纪。[1]
简介
伽罗瓦理论是以伽罗瓦(Galois，E.)的名字命名的，用群论观点研究代数方程求解的理论。它源于代数方程的根式解问题。早在公元前几世纪，巴比伦人用配方法解二次方程之后，经历两千多年的漫长岁月，直到16世纪意大利数学家才给出三次方程的求根公式，即卡尔达诺(Cardano，G.)公式。其后，卡尔达诺的学生费拉里(Ferrari，L.)又得出四次方程的求解方法。于是，人们推断五次方程也存在根式解。许多数学家都曾尽力寻求，如欧拉(Euler，L.)、拉格朗日(Lagrange，J.-L.)、鲁菲尼(Ruffini，P.)等，但都告失败。拉格朗日首先怀疑五次方程存在根式解。直到1826年，当时年仅24岁的挪威数学家阿贝尔(Abel，N.H.)才首先证明高于4次的一般代数方程不能用根式解，同时给出一类能用根式解的方程。这类方程现称拉格朗日方程。但是，阿贝尔没有给出一个法则来判别一个高于四次的具体代数方程能否有根式解。其后不久，伽罗瓦天才地建立了代数方程的伽罗瓦域的子域与它的伽罗瓦群的子群间的一一对应关系，证明了代数方程能用根式解的充分必要条件是其伽罗瓦群为可解群。从而彻底解决这一问题。
1828年，年仅17岁的伽罗瓦写了“关于五次代数方程的解法问题”等两篇论文，送法国科学院但不受重视，被柯西(Cauchy，A.-L.)遗失了。1831年，伽罗瓦又完成了“关于用根式解方程的可解性条件”，院士泊松(Poisson，S.-D.)的审查意见是“完全不能理解，予以退回”.不满21岁的伽罗瓦在决斗前夕将草稿寄给他的朋友，14年后，1846年，刘维尔(Liouville，J.)在他创办的《纯粹数学和应用数学》杂志上首次发表了伽罗瓦的部分文章。第一个全面介绍伽罗瓦理论的是若尔当(Jordan，M.E.C.)，他是在1870年出版的《论置换群与代数方程》一书给出的。伽罗瓦应用置换群这一工具，不仅证明一般高于四次的代数方程不能用根式求解，而且还建立了具体数字代数方程可用根式解的判别准则。应用伽罗瓦理论很容易地否定回答所谓几何三大难题。