子群
群的特殊的非空子集
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历史版本
子群（英文：subgroup），是群的特殊的非空子集。如果群G的一个非空子集H对于G的运算也成为一个群，那么称H为G的一个子群，记做H<G。[5]
群的思想最早可见于古希腊数学家欧几里得（Euclid）的著作《几何原本》中，但并没有真正出现群的概念。[10]18世纪代数学从属于分析，拉格朗日（Lagrange）在讨论代数方程根之间的置换时，已有置换群的概念。[9]后来，1830年法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Evariste Galois）[4]在专业意义上第一次使用“群”这个术语，并在之后把“群”一词和排列置换联系起来，用“相似的（semblable）”这一术语，给出子群的概念，描述子群与陪集的关系，进一步通过“相似且相同（semblables et identiques）”给出正规子群的概念。[11][12]
子群具有一些基本性质，如任何一个非单位元群至少有两个子群，它自身以及由单位元作成的单位元群等。[1]常见的子群有极大子群、极小子群和正规子群等，由生成子群的构造方法可得到一类重要的子群。[13][14]子群在现实世界中具有广泛的应用价值，例如在机器人领域，机器人的变换可以根据无限连续群的分类法分成几种基本类，子群元素的乘可用于描述机器人的位移变换；[8]在经典力学中，空间中一切位移的集合成群，取一部分位移的集合也可能成群（均指关于位移的积运算），即形成位移集合群的子群。[2][6]