数学原理
罗素和怀特海共同完成的数学和哲学著作
条目
历史版本
《数学原理》（Principia Mathematica）[1]是由伯特兰·阿瑟·威廉·罗素和阿弗烈·诺夫·怀特海共同撰写数学和逻辑学著作，该书共分三卷，分别于1910年[1]、1912年[4]和1913年[5]出版。该书主要探讨了数学基础和原理，强调数学与逻辑的紧密联系，并尝试将数学概念逻辑化。该书认为数学定理可以从逻辑原理和一些基本的数学公理推导出来，是早期分析哲学的奠基之作。[3]
《数学原理》的成书背景根植于数学家莱布尼茨提出的逻辑主义，该主义认为，通过逻辑和符号系统可以表达和解决所有数学问题，而1879年弗雷格的著作《算术基础》使逻辑主义在技术上变得合理。但随着罗素在1901年提出罗素悖论等问题，逻辑主义面临了新的挑战——即仅凭逻辑原理可能无法完全建立数学的基础。之后，罗素邀请老师怀特海合作开展研究，共同撰写《数学原理》一书，旨在创建一个坚实的数学和逻辑体系，以证明数学可以完全建立在逻辑的基础之上。[6]从1902年开始，罗素和怀特海在共同讨论和研究的基础上启动了《数学原理》第二卷的撰写工作，罗素主要负责哲学部分，而怀特海贡献了符号系统和大部分推导工作；[6][7]在接下来的几年中，尽管面临个人生活和情绪上的挑战，罗素坚持完成了这部作品的写作，直到1909年春天全书初稿完成，[8][9]1910年出版第一卷，整个三卷本最终在1913年正式面世，[9][10]后于1925至1927年再版。[6]
《数学原理》深入探讨了数学的逻辑基础及其与哲学的关联。书中强调数学与逻辑之间的紧密联系，并主张数学理论可以通过逻辑方法来简化和证明。[3]在书中，作者通过形式化手段使用符号和公式进行逻辑推理，以提升数学的精确性和严谨性；通过引入了类型理论解决逻辑悖论，确立了集合和命题函数的层次结构，避免自引用；通过提出叙述学说区分名称和叙述，澄清逻辑结构；通过重新解释数学归纳法，扩展其应用范围；并通过对选择公理和结构概念的分析，为数学提供了坚实的逻辑基础。[11][12]第一卷主要通过重新审视传统数学公理并质疑其必要性，扩展了数学的研究范围，并构建了一个基于选定前提的严密演绎系统，同时引入类型理论解决逻辑和集合论中的矛盾和悖论，发展了一套符号逻辑以进行复杂的数学推理；[6][13]第二卷在上述基础上，进一步定义了基数并探讨了它们的逻辑属性以及适用于有限和无限数的加法、乘法和指数运算规则，同时指出了有限概念的双重含义所带来的理论复杂性，并展示了类型理论在解决最大基数逻辑矛盾中的关键作用；[6][14]第三卷继续前两卷的内容，深化了级数理论、系统性地展开了测量理论，并引入了广义的“向量”概念以将比例定义为关系间的一种联系，并特别针对几何学应用，探讨了循环族，如固定平面上的角，为数学的形式化和公理化方法提供了重要的理论支撑。[6][15]
《数学原理》一书在哲学研究领域通过强调“逻辑主义”的运用，令后世的数学家和逻辑学家对数学和逻辑的基础产生了革命性的影响；[16]在现代数学中，《数学原理》系统化地推导出数学理论，促进了数学的形式化系统和公理化方法的发展；[16]本书的集合层次结构理论，对计算机科学的系统结构和体系架构产生了重要影响，为程序验证等应用提供了理论基础。[17]《数学原理》还促进了科学哲学与科学研究之间的对话，其阐述的逻辑构造论对后来的语言哲学和心灵哲学产生了影响，也对数学教育提供了重要的参考框架，影响了后续的数学教学和课程设计。[16][18]此外，《数学原理》被《当代文库》编辑委员会评定为本世纪百大最佳英文非小说中的第23位，[19]该书也被称为将罗素载入史册的巨著，被后世学者认为是数理逻辑发展史上的里程碑。[20][9]