留数定理

用来计算实函数积分的定理
image
在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。

定律定义

假设
是复平面上的一个单连通开子集，
，是复平面上有限个点，
是定义在
的全纯函数。如果
是一条把
包围起来的可求长曲线,但不经过任何一个
，并且其起点与终点重合，那么：
如果
是若尔当曲线，那么
, 因此：
在这里，
表示
在点
的留数，
表示
关于点
的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线
绕过点
的次数。如果
依逆时针方向绕着
移动，卷绕数就是一个正数，如果
根本不绕过
，卷绕数就是零。