柯西积分定理

可导出解析函数性质的基本定理
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A.-L. 柯西研究复变函数的积分所得到的基本定理。应用这一定理可导出解析函数的一系列重要性质。例如，可证明如果一复变函数在一区域内是解析的(即有导数)，则其导数必连续且任意阶导数必存在；还可计算一些定积分或反常积分，等等。

简介

复积分定义　设函数ƒ(z)=u+iv在可求长曲线Г上是连续的，其中u和v分别是ƒ(z)的实部和虚部。在Г上依次取分点。Г上从
到zk的小段记为Гk,在Гk上任取一点,作和数。如果当（sk是Гk的弧长）趋于零时,s趋于一极限值，则称这个极限值为ƒ(z)沿曲线Г的积分，记为
，考虑到
，亦有
。
柯西积分定理　设ƒ(z)在有限单连通区域（即“无洞”且不含无穷远点的区域）D内解析,Г是D内任一条可求长、简单（即本身不相交）、闭(即两端点重合)曲线，则
。
柯西定理有一逆定理，即莫雷拉定理，这一定理与柯西积分定理相结合，可叙述为：设
在有限单连通区域D内连续，则ƒ(z)在D内解析的充分必要条件是：对D内任一条可求长简单闭曲线（或任一三角形）Г，
。