不变量理论
戴维·希尔伯特等提出的理论
条目
历史版本
一组几何元素由 k个参数组成的向量 P₁表示．若 T为某一变换，T∈G ， G为某一变换群，这组几何元素经 T变换后，其参数组成的向量由 P₁变为 P₂(P₁,P₂ 均为 k维向量)，如果 I(P₁)=I(TP₁)=I(P₂)，则称函数 I(P)为在变换群 G下的不变量。
历史发展
希尔伯特在1892年之前主要研究不变量理论；他对这一课题最重要的贡献是在1890和1893年发表的。要理解它们在不变量理论历史中的地位，一个很有用的方法就是读一读希尔伯特自己为1893年的国际数学家大会准备的对这一理论的介绍。
布尔、凯莱和西尔维斯特论述不变量理论的早期作品发表之后的30年里，很多时间耗在计算特殊不变量上。除了前面提到的英国数学家之外，对这项活动做出重要贡献的还有克莱布什和齐格弗里德·海因里希·阿龙霍尔德(1819～1884)，他们发现了三元三次形式的不变量，并确立了“符号”计算法。把这项工作系统化，就是要找出不变量的完整系统或基础；就是说，给定一个n次的x的形式，求出有理整数不变量及共变式的最小个数，使得任何其他有理整数不变量或共变式能够用完全集的有理系数表示为一个有理整数形式。埃尔朗根大学的数学教授保罗·戈尔丹(1837～1912)证明了存在二元形式的有限完全集。他表明，每个二元形式都有一个不变量与共变式的有限完全系，而且，任何二元形式的有限系都 有这样一个系。戈尔丹的证明很笨拙，但显示了完全系如何能够计算；1886年，弗兰兹-梅尔滕斯(1840～1927)提供了一个更流畅的归纳证明，并没有显示系。希尔伯特1888年的著名成果更加一般，被称作“基本定理”。它作为论文《论代数形式理论》的定理1发表在1890年的《数学年刊》上。照例，希尔伯特把一个代数形式定义为一个某些变量的整有理齐次函数，它的系数是某个“有理域”中的数。该定理声称：对于任何有n个变量
的形式所组成的无穷序列
都存在一个数m，使得该序列中的任何一个形式都可以表示为