欧拉常数

莱昂哈德·欧拉提出的数学常数
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欧拉常数(Euler Constant)，全名欧拉-马斯凯罗尼常数(Euler-Mascheroni Constant)，其近似值为0.57721566490…，是瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）提出的数学常数。其定义为调和级数与自然对数差的极限。目前使用字母γ来表示。[1][5][2][6]
1734年[a]，莱昂哈德·欧拉在他的文章中首次提出欧拉常数[4][3]，他本人曾用字母C来表示这个常数，并精确计算到了小数点后5位。1790年，意大利数学家马斯凯罗尼（Mascheroni）引入了字母γ作为欧拉常数的新符号，并将其计算到了小数点后32位。截止到2021年4月29日，欧拉常数已经计算到了16695279010位。目前无法论证欧拉常数是否为有理数还是无理数。[7][6][8][1][3]
欧拉常数在数学上是一个重要的常数，其推导方法有利用数项级数收敛和积分中值定理等。[9][7]可利用欧拉-麦克劳林公式积分法计算出欧拉常数的近似值。[10]欧拉常数应用广泛，可以用于证明调和级数发散、数项级数求和以及定积分计算、数列求极限等。[11][12][7]

历史

欧拉常数，首次由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1734年的发表的文章中提出，其近似值为0.57721566490...。欧拉本人曾用字母C来表示这个常数，并精确计算到了小数点后5位。到了1761年，欧拉进一步将这个值计算到了小数点后16位。1790年，意大利数学家马斯凯罗尼（Mascheroni）引入了字母γ作为欧拉常数的新符号，并将其计算到了小数点后32位。然而，后续的计算发现马斯凯罗尼在第20位时出现了错误。至于欧拉常数是否为有理数，这一问题至今仍未有定论。截止到2021年4月29日，欧拉常数已经计算到了16695279010位。[1][3][8][4]