基本不等式

若干非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值
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基本不等式（英文：arithmetic mean-geometric mean inequality）也称平均值不等式、算术平均-几何平均不等式、AM-GM不等式、AG不等式等，是指在非负实数范围内，若干数的几何平均数不超过它们的算术平均数，当且仅当这些数相等时等号成立。[1][2][7][3]数学语言可表示为：设
为
个非负实数，它们的算数平均值记为
，几何平均值记为
，则有
，当且仅当
时，等号成立。有时也指均值不等式链（英文：Mean Inequality Chain）：
。[7][8]
基本不等式的二维形式最早由古希腊数学家欧几里得（英文：Euclid）所证明。[9]1821年，法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（法语：Augustin-Louis Cauchy）使用一种反向归纳法证明了一般形式的基本不等式。[10]此后，对基本不等式的不同证法一直是人们研究的热点，至今已有上百种不同的证明方法。[9]
基本不等式有加权形式、积分形式、矩阵形式等众多形式。[11][12][13]一般形式的基本不等式也可以推广成均值不等式链（英文：Mean Inequality Chain）、雷多不等式（英文：Rado’s Inequality）、雅各布斯塔不等式（英文：Jacobsthal’s Inequality）、谢尔宾斯基不等式（英文：Sierpinski’s Inequality）等。[8][14]
基本不等式在数学领域有广泛的应用，可以利用它来证明不等式、解几何问题、求极值、比较大小等，它本身也是对数函数凹性的体现。[5][15][16][17][18]基本不等式在经济学中可用来计算收益率和比较不同计算方法得到的年收益率等，在计算机领域中可以对图形的数字化数据进行细化和转换等处理。[6][4]