奇异积分

奇异积分
image
奇异积分，又称考尔德伦-赞格蒙奇异积分算子，一种特殊的积分变换，他们就最基本与最典型的情形，证明了奇异积分算子的Lp可积性。奇异积分算子理论和这一整套的实变函数论方法，不仅在近代调和分析和偏微分方程的理论中，而且在多元复变函数论、概率论和位势理论中，起着重要的作用。又称考尔德伦-赞格蒙奇异积分算子，一种特殊的积分变换，是一维希尔伯特变换到高维欧氏空间的推广，由A.-P.考尔德伦和A.赞格蒙于1952年引入。Rjƒ称为ƒ的第j个里斯变换(j=1,2,…,n)。

正文

他们就最基本与最典型的情形，证明了奇异积分算子的L可积性。这是奇异积分理论的奠基性工作。以后经E.M.施坦、G.韦斯和C.费弗曼等人，把奇异积分同哈代-李特尔伍德极大函数、面积积分、多元调和函数边界性质、李特尔伍德-佩利理论联系起来，组成了近代调和分析的主要工具。同时由J.J.科恩、L.尼伦伯格和L.赫尔曼德尔等人在奇异积分理论和方法的基础上，发展出伪微分算子、傅里叶积分算子等理论，形成偏微分方程近代理论的一个重要方面。
特例 考虑n维欧氏空间
上的泊松方程
，试用牛顿位势
验证这个函数满足方程，形式地在积分号下微分两次，得到