递归论，是数理逻辑的一个分支。它是一门研究递归涵数及其推广的学科。递归函数是数论函数的一种，其定义域与值域都是自然数集。只是由于构作函数方法的不同而有别于其他的数论涵数。将定义域推广到不限于自然数集时，便是所谓广义的递归函数。 历史介绍
递归论这门学科最早可以追溯到原始递归式的使用。古代人以及现代的儿童对加法及乘法的理解，实质上就是使用原始递归式。但直到17世纪，法国学者B.巴斯加尔才正式使用与递归式密切相关的数学归纳法。19世纪德国数学家R.戴德金德和意大利的G.皮亚诺正式使用原始递归式，以定义加法与乘法，从而发展了整个自然数论。1923年，T.司寇伦提出并初步证明一切初等数论中的函数都可以由原始递归式作出，即都是原始递归函数。1931年，K.哥德尔在证明其著名的不完全性定理时，以原始递归式为主要工具把所有元数学的概念都算术化了。原始递归函数的重要性遂受到人们的重视，人们开始猜测，原始递归函数可能穷尽一切可计算的函数。但是，德国数学家W.阿克曼的非原始递归的可计算函数的出现，否定了这个猜测，同时也要求人们探讨原始递归函数以外的可计算函数。1934年，哥德尔在J.赫尔布兰德的启示之下，提出了一般递归函数的定义；美国的S.C.克利尼则于1936年证明了这样定义的一般递归函数和A.丘奇所定义的λ可定义函数是相同的，并给出了几种相等价的定义。这样的一般递归函数后来被称为赫尔布兰德-哥德尔-克利尼定义。1936年，丘奇、A.M.图林各自独立地提出一个论点，即凡可计算的函数都是一般递归函数，这就把递归函数论与能行性论紧紧地结合起来，从而使递归函数的应用范围大大地扩展了（见能行性与一般递归）。关于递归函数本身的进展主要在于定义域的推广，从而得到递归字函数、a递归函数和递归泛涵等等。 基本内容
递归论研究的函数主要包括本原函数、原始递归函数、递归半函数和递归全函数或称一般递归函数、可摹状函数等等。