子模
R模M的子集对模的加法和数乘运算构成的模
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子模（英文：submodule）是模论的概念之一，其定义为：设M是一个R-模，N是M的一个子集，如果N对于M的加法和M与R的数乘来说也构成一个R-模，则称N是M的一个子模，M称为N的扩模。[1][3]
1871年，德国数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind ）在出版的狄利克雷（P. G.L.Dirichlet）《数论讲义 第二版》中引进了代数数及代数整数的概念，在研究有理整系数代数方程的过程中定义了体（Körper），随后对有理整数的同余理论进行了推广，得出了模的概念，把模定义为：对加和减这两种运算均封闭的实数系或者复数系。在后期的代数数论工作中，戴德金以模代数为基础，在之后代数整数环的工作中阐述了理想的概念，得到了模的升链条件。[1][5][6]在库默尔（E.E.Kummer）、戴德金、克罗内克（L.Kronecker）等人对理想论的工作基础上，拉斯克尔（E.Lasker）在1905年发表的文章《模和理想论》(Zur Theorie der Moduln und Ideale）中，首次定义了准素理想的概念，并把它作为模论的重要概念。[7][6]1921年，埃米·诺特（Emmy Noether）[8]在《环中的理想论》中进一步阐述了理想理论，在非交换环上定义了模的概念，证明了理想的一些分解结果可以转化到子模中以及理想的升链条件与模的极大条件是等价的。[9][7][10]在模论的发展过程中，模的直和分解是一个中心问题，并在20世纪得到了快速发展，它与子模有着密切的联系。[4]1932年，克鲁尔（Krull）证明了模直和分解的唯一性。[11]在交换代数当中，准素分解能够把一个交换环的理想或者模唯一地表示为准素理想或者准素子模之交，是算术基本定理的一个推广，可以用来研究代数几何的课题。[9]
子模具有一些重要性质，如每个子模都有一个两个平凡子模；模
的任意多个子模的交仍为一个子模；子模的和构成的集合仍然是一个子模。[3]由子模可以定义商模和循环模[12]的概念。此外，还有一些具有特殊性质的子模，如有极大（小）子模、本质子模和多余子模等。[1]模的同态与同构以及直和等概念是模论的中心内容，可得出关于子模的相关定理。[4][13]在模糊理论中，模还可以推广到模糊集上，得到环
上的模
的模糊子模的概念及性质。[14]