二元运算

由两个元素形成第三个元素的规则
image
二元运算是一种数学概念，它涉及到两个元素的组合产生一个新的元素的过程。二元运算是由两个元素形成第三个元素的一种规则。例如数的加法及乘法；更一般地，由两个集合形成第三个集合的产生方法或构成规则称为二次运算。二元运算作用于两个对象的运算，如任意二数相加或相乘而得另一数；任意二集合相交或相并而得另一集合；任意一个多行矩阵与一个多列矩阵相乘而得另一矩阵；任意二函数合成而为另一函数，以上加、乘、交、并，积及合成均属二元运算。二元运算需要三个元素：二元运算符以及该运算符作用的两个变量。如在运算1 + 2之中，二元运算符为“+”，而该运算符作用的操作数分别为1与2。二元运算只是二元函数的一种，它被广泛应用于各个领域。在二元运算中，运算结果与两个输入值必须是同种类型，例如整数相加后仍然是整数，这保证了运算的封闭性。

定义

二元运算的定义 — 给定集合 A，二元函数 F:A×A→A 称为集合 A 上的二元运算。直观上，也就是集合 A 里的一组数 (a, b) 都对应一个 A 里的数值 F(a, b)，那对应规则的整体 F 就是所谓的二元运算。F(a, b) 通常写为 aFb，而且比起使用字母，二元运算时常以某种运算符表示，来跟普通的函数作区别。事实上 F:A×A→A 这个符号本身就保证了：“只要 a, b∈A 就会有 aFb∈A”，这个性质也称为（二元）运算封闭性。

闭包性

如果对于给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而该象点又是同一个集合中的成员，则称给定集合在该运算之下是封闭的。这种性质，通常称为闭包性。闭包性确保了运算结果仍然属于原有的集合，这是二元运算的基本要求。