大数定律

统计学定律
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大数定律（英文：Law of large numbers）又称大数法则，是一种统计学中的极限定律，指的是在大量重复试验中一个随机事件出现的频率在某个固定数的附近摆动，即所谓的“频率稳定性”。数学语言表示为：若
是随机变量序列，令
。如果存在这样的一个常数序列
，对任意的
，恒有
即，则称序列
服从大数定律。[1][6]
大数定律从长期实践中发展而来，人们很早就意识到“频率稳定性”的现象但一直没有理论上的说明。意大利数学家吉罗拉莫·卡丹诺（英文：Gerolamo Cardano）在他的《机遇博弈》（英文：The Book of Games of Chance）中最早写下了这个现象，瑞士数学家雅各布·伯努利（德语：Jakob Bernoulli）在他的著作《推测术》（德语：Ars Conjectandi）中首次证明了
次伯努利试验下的大数定律。法国数学家西莫恩·德尼·泊松(法语：Simeon-Denis Poisson）首次提出了“大数定律”这一名称，并证明了泊松大数定律。而后有众多数学家都对大数定律的建设做出了贡献。包括俄国数学家帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫（英文：Pafnuty Lvovich Chebyshev），法国数学家埃米尔·博雷尔（法语：Émile Borel），前苏联数学家亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦（英文：Aleksandr Yakovlevich Khinchin），俄国数学家安德烈·马尔科夫（英文：Andrey Markov），俄国数学家安德雷·科尔莫戈罗夫（英文：Andrey Kolmogorov）等。[7][2][8]
大数定律根据随机变量的收敛性分为弱大数定律和强大数定律。前者是依概率收敛意义下的大数定律，后者是以概率1收敛意义下的大数定律。弱大数定律包括伯努利大数定律、泊松大数定律、切比雪夫大数定律、马尔科夫大数定律、辛钦大数定律等，强大数定律包括博雷尔大数定律、科尔莫戈罗夫大数定律等。如不加说明，大数定律通常指的是弱大数定律。[9][1][10]
大数定律应用广泛。生活中常用“频率稳定性”的思想用概率估计频率。数学上的蒙特卡罗方法成为了求积分的经典方法。经济学上保险业，银行管理、贷款等服务均有大数定律的应用。统计物理中在多粒子组成的宏观体系内的计算也有大数定律作理论基础。[4][11][5][12]

定义