"康托尔定理:用P(X)记X的一切子集构成的集,用cardX表示X的势,康托尔定理如下:cardX>cardP(X) 因为P(X)含有X的一切单元素子集,故cardX≤cardP(X) 正文
康托尔定理:用P(X)记X的一切子集构成的集,用cardX表示X的势,康托尔定理如下:cardX<cardP(X)
.证明:对于空集来说,上述结论显然成立,所以可设X≠空集。因为P(X)含有X的一切单元素子集,故cardX≤cardP(X),现只需证明两者不相等。若相等,假定f:X-P(X)是双射,考察集合A={x∈X|x不∈f(x)},它由那样一些元素x∈X,x不含于它对应的集f(x)∈P(X),,组成的。因为A∈P(X),所以必能找到一个元素a∈X,使f(a)=A,这个元素a∈X既不能有a∈A(据A的定义),也不能有a不∈A(也是根据A的定义),这与排中律矛盾。得证。