线性微分方程

应用于数学中的方程
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线性微分方程（linear differential equation）是所含未知函数以及未知函数的各阶导数或微分都是一次的微分方程就是线性微分方程。[1]方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数为该微分方程的阶数。根据阶数不同可分为一阶线性微分方程和二阶线性微分方程等。[4]线性微分的线性则体现在方程中未知函数
及其导数
都是一次的。[3]
十七世纪，首先由牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibinitz）发明了微积分，同时产生了微分方程问题。[2]到17世纪末及18世纪，常微分方程的研究主要是集中在求微分方程各种具体类型通解的明显表达式，即把微分方程的解化为初等函数或初等函数的积分的各种特殊方法上。[5]
线性微分方程根据不同情况可以选用不同的方法求解，比如待定系数法、参数变易法等。[6]运用线性微分方程可以求解多种类型的实际问题，也可以进行物理学等学科的问题研究。例如，可以用于解决建筑施工中的压杆稳定问题和弹性基地梁问题等问题。也可以用于物理学中振动系统、电学系统的问题研究。还可以用于建立一些医学模型，比如肿瘤生长规律模型。[7][8][9]

定义

含有未知函数的导函数或微分的方程称为微分方程，其中所含未知函数以及未知函数的各阶导数或微分都是一次的微分方程就是线性微分方程。[1]其一般形式为
，其中系数
，
，
是自变量x的已知函数或常数。函数
称为线性方程的自由项。
时，称方程为齐次的；
时，称方程为非齐次的。使得系数
，
，
和自由项
都连续的区间称为方程的容许区间。[10]