拓扑群，又名连续群，是具有拓扑空间结构的群。
正文
又名连续群，是具有拓扑空间结构的群。设G是拓扑空间，又是一个群，而且群的乘积运算与求逆按此拓扑是连续的，即从拓扑空间G×G到拓扑空间G上的映射m∶(x,y)→x·y及从G到G上的映射ƒ:x→x-1 都是连续映射，则称G为拓扑群。如果G作为拓扑空间是局部紧(或紧、连通、单连通)的，则称G为局部紧(或紧、连通、 单连通)拓扑群。例如,n维欧氏空间中所有向量所成的加群，再加上通常的拓扑，就是一个交换拓扑群；实数域R上所有n阶非奇异方阵所成的乘法群GL(n,R),再加上通常的拓扑，是一个局部紧拓扑群；而所有行列式为1的正交矩阵所成的群SO(n,R)是一个紧连通拓扑群。 从拓扑群G到拓扑群H内的映射ƒ:G→H,如果作为群结构它是群同态，作为拓扑空间的映射它是连续的，那么ƒ称为从拓扑群G到拓扑群H的同态，简称同态。如果同态ƒ是双射, 而且逆映射ƒ-1也是连续的，那么ƒ称为拓扑群G到拓扑群H上的同构映射，简称同构。拓扑群全体带上拓扑群间的同态，构成一个范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。 在数学中，拓扑群概念最初是由连续变换群的研究所引起，人们发现在处理许多连续变换群的问题中所出现的群，往往不必考虑作变换群，而只需研究这些群本身，于是产生了连续群的概念。M.S.李是最初对连续群进行系统研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。