对偶空间

某一线性空间上的全体线性函数按照加法及数乘运算构成的另一个线性空间
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对偶空间（Dual Space），是指数域上某一线性空间上的全体线性函数按照加法及数乘运算构成的该数域上的另一个线性空间[1][2]。
对偶空间思想的萌芽可追溯至20世纪初。1904年，戴维·希尔伯特（David Hilbert）[8]的积分方程工作的第一篇文章“线性分方程的一般理论”中蕴含了有限维空间中的对偶思想，但无限维空间上对偶思想的萌芽和产生是在希尔伯特发表的积分方程工作的第五篇文章中的代数化方法才有所体现[3]。而后，匈牙利数学家里斯（Frigyes Frdric）将希尔伯特的对偶思想以及将积分方程理论深入推进产生了重要的具体的对偶空间，从而为抽象对偶空间理论的形成提供了具体范例。后来，奥地利数学家黑利、汉斯·哈恩（Hans Hahn）和波兰数学家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）等人进一步完善了之前的结论[3]。1929年，巴拿赫发表了两篇题为《关于线性泛函》的文章，首先建立了对偶算子理论的基础，并给出了赋范线性空间上连续线性泛函的明确定义，标志着对偶空间理论正式诞生[3]。
对偶空间具有许多性质，如对偶空间与原空间维数相同[7]。与对偶空间类似的理论为共轭空间，它的元素是线性泛函[9]。对偶空间理论在实际研究中应用广泛，如在遥感影像领域，可以基于对偶空间进行高分辨率影像道路的提取[4][5][6]。

定义

设
是数域
上的线性空间，
和
是
的两个线性函数，
，定义线性函数的加法
和数乘
如下：
，
。其中
和
也是线性函数，
上全体线性函数按照如上式子的加法和数乘运算构成数域
上的线性空间称为
的对偶空间，记作
[1]。