压缩感知

压缩感知是一种远低于传统采样率的信号处理方法
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压缩感知（Compressed Sensing，CS）是一种从远少于传统采样定理所要求的数据中恢复出信号的信息处理技术。压缩感知来源于稀疏信号理论中，信号在变换域（如傅里叶变换、小波变换等）下可以稀疏表示的原理。即使信号没有被完全采样，只要采样满足一定的条件，就可以重新准确地恢复出原始信号。[1]
20世纪初，奈奎斯特（Harry Nyquist）定理确立了信号重建的采样频率要求。[2]1948年香农（Shannon）的信息论进一步为信号传输提供理论基础。[3]2004年，压缩感知作为一个独立领域兴起，证明稀疏信号可在低采样率下重建。2006年，坎德斯（Emmanuel Candès）和多诺霍（Donoho）为压缩感知提供数学基础。[4]2010年后，机器学习和深度学习技术推动了压缩感知的发展，引入了适应性更强的测量函数，动态压缩感知成为新研究趋势。[5]
基于稀疏信号处理的数学模型是CS的理论基础之一，此外需要满足信号的稀疏性、采样矩阵（测量矩阵）的非相关性、采样数据满足某种不完全性等前提要求及其对应的关键技术。[1] 信号可通过正交基、过完备冗余字典或学习字典进行稀疏表示，并通过随机高斯矩阵、部分傅里叶矩阵或自适应测量矩阵进行测量。重构过程依赖于如匹配追踪（MP）和正交匹配追踪（OMP）的贪婪算法、L1范数最小化等凸优化算法，以及贝叶斯重构等方法。借此，CS实现了高效的数据采集和重构，在数据存储、传输和图像处理等领域具有重要应用，特别是在资源受限或数据量庞大的场景中，能够显著提高效率[1]，但是也依然存在噪声干扰、重构算法欠优化等自身局限性，未来可行的研究方向有与深度学习结合的深度压缩感知，以及自适应的动态压缩感知等[6]。

概述

压缩感知是建立在矩阵分析、统计概率论、拓扑几何、优化与运筹学、泛函分析等基础上的一种全新的信息获取与处理的理论框架。它基于信号的可压缩性，通过低维空间、低分辨率、欠奈奎斯特（Nyquist）采样数据的非相关观测来实现高维信号的感知。故而从一定程度上解决了现代社会信息量激增带来的信号采样、传输和存储的巨大压力。[1]压缩感知不仅让人们重新审视线性问题，而且丰富了关于信号恢复的优化策略，极大的促进了数学理论和工程应用的结合[7]。