三重积分

三重积分

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设三元函数f（x，y，z）在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为ri（i=1，2，3.....n），体积记为Δδi，记||T||=maxri，在每个小区域内取点f（ξi，ηi，ζi），作和式Σf（ξi，ηi，ζi）Δδi，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一（即与Ω的分割和点的选取无关），则称该极限为函数f（x，y，z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f（x，y，z）dV，其中dV=dxdydz。

基本介绍

定义体积元素设三元函数

定义在有界闭区域

上将区域

任意分成n个子域

并以

表示第i个子域的体积.在

上任取一点

作和

.如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数

在区域Ω上的三重积分，记为

，即

，其中dv叫做体积元素。其中

三重积分号

被积函数

被积表达式dv为体积元x,y,z为积分变量

为积分区域

为积分和

性质

性质1

（k为常数）。性质2线性性质：设

为常数，则

。性质3如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。性质4如果在G上，且

，v为G的体积，则

.性质5如果在G上，

，则有，

，特殊地，

.性质6设M、m分别为

在闭区域G上的最大值和最小值，v为G的体积，则有

.性质7（积分中值定理）设函数

在闭区域G上连续，v是G的面积，则在G上至少存在一个点

使得

。