有限群（英文：finite group[2]）是特殊的群，其定义为：如果群G的元的个数是一个有限整数，则G就称为有限群；反之，称G为无限群。有限群的元的个数称为群G的阶，记为|G|。[17][18]
群的思想最早可见于古希腊数学家欧几里得（Euclid）的著作《几何原本》中，但并没有真正出现群的概念。抽象群的发展可追溯到18世纪，[8]法国数学家拉格朗日（J.L.Lagrange）在讨论代数方程根之间的置换时，置换群的概念已经形成。[3]1830年前后，法国数学家伽罗瓦（E.Galois）在专业意义上第一次使用“群”这个术语，并用群论的方法来研究代数方程的解。从他开始，代数学的研究中心由代数方程逐渐转变为各种抽象的代数结构。[4][19]1858年，德国数学家戴德金（R.Dedekind）在著作《代数讲义》中致力于群的一般理论的研究，给出了有限群的一般定义及其相关性质。[5]1887年，德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frobenius）证明了有限抽象群的西罗定理，并于1895年发表了关于抽象群概念的著作《有限群》。[6]进入20世纪后，有限群的可解性问题得到了进一步解决。20世纪初，英国数学家伯恩赛德（W.Burnside）证明了伯恩赛德定理，[8]并于1911年出版了群论著作《有限阶群论》。[7]1965年，杨科（Z.Janko）找到了除马蒂厄群外的第一散在单群，并在1981年前后基本上解决了著名的有限单群分类问题，进一步发展了有限群理论。[8] 有限群与子群[20]、陪集等概念密切相关，它能分解为两两不相交陪集的并。[21]有限群的主要类型包括有限阿贝尔群[12]、置换群[13]、循环群[14]等。有限群理论具有很多相关定理，其中拉格朗日定理揭示了有限群的阶与其子群的阶之间的关系。[15]此外，有限群在现实世界中具有广泛的应用价值，如在密码学中，基于阿贝尔有限群上的高效密钥协商方案，能有效地抵抗各种攻击方案，提高信息加密的安全性。[10] 定义
群